선형사상

xi와 xj 는 X의 임의의 원소라고 하고, x는 임의의 실수라고 한다. f는 "X에서 Y로의 사상" 이라고 한다.

사상 f가 아래 2개의 조건을 만족할 경우에 "사상 f는 X로부터 Y로의 선형사상" 이라고 한다. 

 

1. f(xi) + f(xj) 와 f(xi+xj) 가 같다.

2. cf(xi) 와 f(cxi) 가 같다.

 

- 선형 사상의 예 

f(x) = 2x 라는 사상 f는 선형사상이다. 왜냐하면 아래표에서 알 수 있듯이 1과 2를 만족시키기 때문이다.

 

f(xi) + f(xj) = 2xi + 2xj

f(xi + xj) = 2(xi + xj) = 2xi + 2xj

 

cf(xi) = c(2xi) = 2cxi

f(cxi) = 2(cxi) = 2cxi

 

- 선형 사상이 아닌 예

f(x) = 2x - 1 이라는 사상 f는 선형 사상이 아니다. 왜냐하면, 1 또는 2가 성립하지 않기 때문이다.

이 경우는 1과 2 모두를 만족시키지 못하고 있다.

 

f(xi) + f(xj) = 2xi - 1 + 2xj - 1 = 2xi + 2xj - 2

f(xi + xj) = 2(xi + xj) - 1 = 2xi + 2xj - 1

 

cf(xi) = c(2xi - 1) = 2cxi - c

f(cxi) = 2(cxi) - 1 = 2cx - 1